حساب دیفرانسیل و انتگرال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

(تغییرمسیر از حسابان)

پرش به: ناوبری, جستجو

حسابان یا حساب دیفرانسیل و انتگرال یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات است. این رشته از تحول جبر و هندسه ناشی شده‌است. حسابان خود دو شاخه اصلی دارد: حساب فاضله (یا حساب دیفرانسیل) و حساب جامعه (یا حساب انتگرال.)

نام‌گذاری این رشته را در زبان انگلیسی calculus می‌خوانند. واژه «کلکول» اصلاً از زبان یونانی آمده و به معنای ریگ و قلوه سنگ است. نام این رشته یادگار دورانی است که یونانیان با چیدن ریگ بر زمین مفاهیمی در حساب و هندسه را نمایش می‌دادند.

در گذشته در فارسی به این رشته «حساب جامعه و فاضله» و نیز «حساب دیفرانسیل و انتگرال» گفته می‌شد. در سال‌های اخیر واژه «حسابان» به‌کار می‌رود که اشاره به دو شاخه فرعی این رشته دارد. یکی از دروس مهم ریاضی می‌باشد

مفاهیم اصلی حسابان بر پایه دو مفهوم اصلی و مربوط به هم یعنی مشتق و انتگرال بنا شده‌است. مشتق بیان نسبت تغییرات یک کمیت به کمیت دیگر است. انتگرال بیان جمع کمیت‌هاست. هر دوی این مفاهیم با مفهوم حد مرتبط‌اند.کاربردها    حسابان در بیشتر رشته‌های علمی و فنی کاربرد دارد.

·                              تابع پیوسته (تغییرمسیر پیوستگی تابع) در ریاضیات ، تابع پیوسته در نقطه a تابع ی است که در نقطه a تعریف شده، و همچنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a) باشد. در تعریفی شهودی ...

·                              پیوستگی پیوستگی به یکی از مفاهیم زیر است: پیوستگی تابع در حساب دیفرانسیل و انتگرال. پیوستگی توپولوژیک در آنالیز ریاضی. پیوستگی ملکول‌های شبیه‌به‌هم ...

·                              مشتق (تغییرمسیر مشتق تابع) بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد. ... اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در x a \! ...

·                              حد (ریاضی) (بخش حد تابع)حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع ، به هنگام نزدیکی متغیر تابع به ... برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد. ...

·                              تابع تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. ... مانند پیوستگی ، مشتق پذیری ، نقاط بحرانی و عطف ، صعودی یا نزولی بودن و... ...

·                              گروه آزمایشی علوم ریاضی و فنی

دوم، تابع درجه دوم، لگاریتم، تصاعد عددی، تصاعد هندسی، تابع و انواع آن مجانب، حد و پیوستگی، مشتق و کاربرد مشتق، انتگرال، مثلثات در درس ریاضی ...

·                              تابع دیریکله

اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می‌کنند: ... یا با استفاده از تعریف پیوستگی در یک فضای توپولوژیک بدست آورد. ...

·                              پیوستگی توپولوژیک

پیوستگی ... تابع f : X \to Y در نقطهٔ x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعهٔ باز شامل f(x) مانند B_Y، مجموعهٔ بازی مانند B_X شامل ...

·                              تابع‌های مثلثاتی

تابع مثلثاتی، در ریاضیات ، به شش تابع سینوس ، کسینوس ، تانژانت ، کتانژانت ، سکانت ... مثلاً تعیین برد و دامنه ، پیوستگی ، مشتق ‌پذیری، ...

·                              لگاریتم (بخش تابع لگاریتم)

تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع ... کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. ...

·                              خودهمبستگی

وقتی مقدارهای میانگین از سیگنالها کسر می شوندقبل از محاسبه یک تابع ... خود همبستگی یک سیگنال نویز سفید با پیوستگی زمانی، یک پیک شدید خواهد ...

۲۱برآوردگر سازگار

نتیجه ی مفید دیگر تئوری پیوستگی : اگر T n برای θ سازگار باشد و (·)g یک مقدار واقعی تابع پیوسته در نقطه ی θ باشد، (g(T n برای (g(θ پیوسته ...

·                              توزیع پواسون

نمودار فقط در نقاط پررنگ معنا دارد و وصل کردن نقاط به معنای پیوستگی نیست. | ... تابع فوق به عنوان تابعی از k یک تابع جرم احتمال ست . ...

·                              کتانژانت (بخش تابع کتانژانت)

·                              تابع کتانژانت: پرونده:Cotan proportional. svg | نمودار تابع تابع math F(x)cot ... بی‌نهایت مجانب قائم دارد و پیوستگی ندارد. پرونده:Trigonometria 06. ... قضیه مقدار میانگین

·                              تابع \Phi(x)f(x)-\eta x را در نظر می‌گیریم که در آن \eta عددی ثابت است. ... تابع \Phi در بازه a,b پوسته و در (a,b ... جستارهای وابسته : پیوستگی مشتق ... تابع مرومورفیک

در آنالیز مختلط ، یک تابع مرومورفیک روی یک زیرمجموعه باز D از صفحه مختلط، یک تابع ... با استفاده از پیوستگی تحلیلی برای زدودن نقطه تکین منفرد ...

·                              توییتر (بخش پیوستگی)

هندی ، تاگالوگ و مالایا | شرکت‌های تابع | شعار | وبگاه http://www. ... پیوستگی: از طریق حساب توییتری می‌توان به بسیاری از وبگاه‌ها پیوست یا به ...

·                              بار الکتریکی

·                              داده می‌شود هم چنین برای نامتغیرهای گوج در تابع موج برای حالت محلی آن. پایستگی بار، معادله پیوستگی جریان الکتریکی را نتیجه می‌دهد. ... بهینه‌سازی (اقتصاد) (بخش تابع مخارج)

به عبارت بهتر، به دنبال یافتن بهترین مقدار قابل دستیابی از یک تابع ... کلاود برگ (۱۹۶۳) در قضیه‌ای موسوم به قضیه ماکزیمم به تشریح پیوستگی ...

۵۹ کیلوبایت (۶٬۷۱۳ کلمه) - ‏۹ دسامبر ۲۰۱۱، ساعت ۱۵:۳۲

·                              مکان‌شناسی

(۱۸۴۵-۱۹۱۸)، ایده‌هایی از جمله پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله ‌ها، ... دو فضای توپولوژیک

مباحث پایه [ویرایش]

• حساب تغییرات یک تابع
• حد (ریاضی)
• مشتق
• کاربردهای مشتق
• انتگرال
• کاربردهای انتگرال معین
• روشهای انتگرال گیری
• توابع هایپربولیک
• مختصات قطبی
• دنباله و سری
• سریهای توانی
• بردارها
• توابع برداری و حرکت آنها
• رویه‌ها

• سیستم‌های مختصات و رسم آنها سوال امتحانی حساب و دیفرانسیل و انتگرال

برای دیگر کاربردها، حد (ابهام‌زدایی) را ببینید.

حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع، به هنگام نزدیکی متغیر تابع به مقدار معلومی مثل a. در واقع حد نوعی میل کردن است. مفهوم آن یکی از اساسی‌ترین مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال است. در ریاضیات، موضوع حد، به منظور بیان رفتارهای یک تابع به کار گرفته می شود. همچنین به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد. ریاضیدان ها حتی پیش از اینکه مفهوم دقیق تر حد را ارائه کنند، در مورد آن موضوع مجادله های زیادی کردند. یونانی ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعی های منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای کسب مساحت شکل های گوناگون استفاده می شد.^[۱]

[ویرایش] تعریف

روش اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل ویستراس عنوان شد^{[منبع توسط نویسنده یاد نشده]}. با استفاده از آن حد را چنین تعریف می‌کنیم:

گوییم f(x) در نقطه‌ای مانند x₀ دارای حد L است اگر به ازای هر عدد مثبت عدد مثبتی مثل δ موجود باشد به طوری که اگر 0 < | x − x₀ | < δ، آنگاه .

به عبارت دیگر برای هر 0" type="#_x0000_t75">یک 0" type="#_x0000_t75">وجود داشته باشد، که برای هر x₀ با خاصیت ، داشته باشیم | f(x) − L | < ε.

برای تعریف غیرصوری باید گفت حد تابع f(x) ،L است اگر وقتی ، f(x) به حد L نزدیک بشود، یا f(x) در a دارای حد L است، اگر هنگامی که x به a میل می‌کند، f(x) به L نزدیک شود.

[ویرایش] مثال

اثبات  :

برای هر 0" type="#_x0000_t75">یک 0" type="#_x0000_t75">وجود دارد به شکلی که:

اگر 0 < x < δ

یا اگر 0 < x < δ

با گرفتن جذر هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنوسیم:

اگر 0 < x < δ

بنا بر این

و این را اثبات می‌کند.

[ویرایش] حد تابع

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

بدین معناست که f(x)‎ به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند. است و به x مقدار ۲ را می‌دهیم. در این مثال x در ۲ تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش ۰٫۴ است:

اگر به x مقدار ۲ را بدهیم f(x)‎ برابر ۰٫۴ خواهد شد و داریم . در این مثال است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال:

حد g(x)‎ به ازای x برابر ۲ مساوی ۰٫۴ می‌باشد اما و g در ۲ پیوسته نیست.

در مثالی دیگر فرض می کنیم که تابع در x = c تعریف نشده باشد: